RESUME PDM 1

PENGERTIAN LOGIKA DAN KALIMAT BERMAKNA

Logika matematika merupakan cabang penting dari matematika sehingga perlu diajarkan pada semua jenis sekolah lanjutan untuk memberikan dasar cara berfikir yang logis dan sistematis. Oleh karena itu obyek-obyek diluar semesta pem-bicaraan tidak perlu diperhatikan agar pembahasan masa-lah dapat terarah dan bisa menghindari kesalahpahaman dalam peninjauannya.
Dalam kehidupan sehari-hari dilakukan komunikasi menggunakan bahasa. Agar komunikasi dapat dimengerti digunakan logika sebagai kontrol. Dalam matematika, bahasa komunikasinya disebut kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambang-lambang matematika. Kalimat dibedakan menjadi 2 yaitu:
1. Kalimat Berarti
Yaitu kalimat yang pengertiannya masuk akal dan berarti dalam pikiran.
Contoh:
1.Matahari terbit dari arah timur.
2.Harimau binatang buas.
Kalimat yang mempunyai arti dibedakan menjadi 2 yaitu: yaitu kalimat pernyataan dan kalimat bukan pernyataan
a.Kalimat Pernyataan
Adalah suatu kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak dapat benar dan sekaligus salah. Kalimat pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen, atau proposisi dan dilambangkan dengan satu huruf kecil.
Perhatikan kalimat kalimat-kalimat berikut ini:
1.p: Semarang Ibukota Jawa Tengah. (benar)
2.q: 4x + 6x = 12x. (Salah)
3.r: Semua siswa SMK harus melaksanakan Praktek Kerja Industri (Prakerin).(Benar)
4.s: Nilai dari 42 x 2-3 = 3. (Salah)
5.t: 7 + 3 £ 10. (Benar)
•Selain kalimat pernyataan di atas ada pula kalimat faktual yaitu kalimat yang nilai kebenarannya baru diketahui sesuai dengan keadaan saat itu.
Contoh:
1.Hari ini matahari bersinar terang.
2.Besok ada orang yang mendapat hadiah dari Bank.

b.Kalimat Bukan Pernyataan
adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat pertanyaan dan kalimat harapan.
Contoh:
1.Semoga hari ini bias mengerjakan ujian.
2.Semua siswa dapat mengerjakan soal-soal latihan 1.
•Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel) merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang konstanta adalah suatu bilangan tertentu atau suku yang tidak mengandung variabel.
Contoh:
1.6x – 4 = 14 (Kalimat terbuka)
2.3x + 4 < 6 + 2x (Kalimat terbuka)
3.Hapuslah papan tulis itu! (Kalimat perintah)
4.Mengapa kamu tidak mengerjakan pekerjaan rumah? (Kalimat tanya)
5.Mudah-mudahan semua siswa mendapat beasiswa dari Pemkot. (Kalimat harapan)

2.Kalimat Tidak Berarti
Yaitu kalimat yang tidak bisa diterima akal.
Contoh:
1. Nasi menyanyi tidur makan.
2. 2 + 5 menyanyi tidak pergi akan lagi.

INGKARAN,KONJUNGSI DAN DISJUNGSI
Pada pernyataan dapat dilakukan operasi. Jika operasi itu dikenakan pada satu pernyataan, maka operasinya disebut operasi uner, sedangkan bila dikenakan pada beberapa pernyataan disebut operasi biner.
Bentuk dari operasi logika matematika sebagai berikut :

A. Ingkaran/Negasi
Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~" .atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".
Contoh:
(1) p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

(2) q: 2 + 5 = 10.
~q: Tidak benar bahwa 2 + 5 = 10.
~q: 2 + 5 tidak sama dengan 10.

(3) r: 2 > 5
~r: Tidak benar bahwa 2 > 5 .
~r: 2 < 5.

Catatan:
Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya.

B. Konjungsi:
Operasi konjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan "∧" dan dibaca "dan". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan "p ∧ q" dibaca "p dan q".
Catatan:
dapat dikatakan bahwa konjungsi bernilai benar (B) jika kedua komponen penyusunnya bernilai benar(B), jika tidak demikian maka konjungsi bernilai salah (S).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listriK.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
1. Jakarta ibu kota RI dan Tugu Muda terletak di kota Semarang.
2. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan 6 + 4 = 11
3. (sin x = 1+ cos2x) dan jumlah sudut dalam segitiga 360.
Penyelesaian:

(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
(3) Kalimat bernilai salah karena salah kedua pernyataan penyusunnya bernilai salah.

C. Disjungsi
Operasi konjungsi merupakan operasi binar yang dilambangkan "V" dan dibaca "atau". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan" p V q" dibaca "p atau q".
Catatan:
Dapat dikatakan bahwa disjungsi bernilai salah (S) jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah (S), jika tidak demikian maka disjungsi bernilai benar (B).

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan yang berikut:
1. Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 atau Megawati Wakil presiden RI yang ke4
2. 3 + 4 = 5 atau 5 bukan bilangan prima.

Penyelesaian:
1. Benar karena Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 bernilai benar.
2. Salah karena kedua komponennya bernilai salah.

Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

a. Disjungsi Inklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.
Contoh:
p: Pak Budi orang kaya.
q: Pak Budi rajin bekerja.
p∨q: Pak Budi orang kaya atau rajin bekerja.
Di sini mempunyai dua pengertian:
(1) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi tidak keduanya.
(2) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi mungkin juga keduanya.

b. Disjungsi Eksklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salah satu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).

Contoh :
p : Joni naik pesawat terbang.
q : Joni naik kapal laut.
p∨q : Joni naik pesawat terbang atau kapal laut.

Dalam contoh tersebut, Joni hanya naik pesawat terbang saja atau kapal laut saja, dan tidak mungkin naik pesawat terbang dan sekaligus naik kapal laut.