Tugas 5

1) Show that (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
proof :
(i) Show that (A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Take any Χ ∈ (A ∩ B) ∪ C
Obvious Χ ∈ (A ∩ B) ∪ C
↔ Χ ∈ (A ∩ B) ∨ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ A ∧ Χ∈ B ∨ Χ ∈ C (Distributif)
↔ Χ ∈ A ∨ Χ∈ C ∧ Χ ∈ B ∨ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ (A ∪ C) ∧ Χ ∈ (B ∪ C)
↔ Χ ∈(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
We get for all Χ ∈ (A ∩ B) ∪ C that Χ ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) It is means
(A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)....(1)

(ii)Show that (A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Take any Χ ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Obvious Χ ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
↔ Χ ∈ (A ∪ C) ∧ Χ ∈ (B ∪ C)
↔ Χ ∈ A ∨ Χ ∈ C ∧ Χ ∈ B ∨ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ (A ∧ B)∨ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ (A ∩ B)∪ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ (A ∩ B) ∪ C....(2)
So (A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∩ C) ∩ (B ∪ C)
From (1) and (2) we conclude that (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ (B ∪ C)

2) Show that (A ∪ B)∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
proof :
(i) Show that (A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Take any Χ ∈ (A ∪ B) ∩ C
Obvious Χ ∈ (A ∪ B) ∩ C
↔ Χ ∈ (A ∪ B) ∧ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ A ∨ Χ∈ B ∧ Χ ∈ C (Distributif)
↔ Χ ∈ A ∧ Χ∈ C ∨ Χ ∈ B ∨ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ (A ∩ C) ∨ Χ ∈ (B ∩ C)
↔ Χ ∈(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
We get for all Χ ∈ (A ∪ B) ∩ C that Χ ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) It is means
(A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)....(1)

(ii)Show that (A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Take any Χ ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Obvious Χ ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
↔ Χ ∈ (A ∩ C) ∨ Χ ∈ (B ∩ C)
↔ Χ ∈ A ∧ Χ ∈ C ∨ Χ ∈ B ∧ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ (A ∨ B)∧ Χ ∈ C
↔ Χ ∈ (A ∪ B) ∩ C....(2)
So (A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
From (1) and (2) we conclude that (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

TUGAS 4

1. Let A,B set and x is an elements. While :
a. x ∈ A ∩ B
b. x∉ A ∩ B

2. Show that :
a. A ∩ A = A
b. A ∩ B = B ∩ A
c. (A ∩ B) ∩ C = A ∩(B∩ C)

The answer:
1. a). x ∈ A ∩ B ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B
b). PBE :
1. x ∉ A ∩ B
2. Tidak benar bahwa x ∈ A ∩ B
3. Tidak benar bahwa x ∈ A ∧ x ∈ B
4. x ∉ A ∧ x ∉ B

2. a). Proof :
i) Show that A ∩ A ⊂ A
Take any x ∈ A ∩ A
Obvious x ∈ A ∩ A
↔ x ∈ A ∧ x ∈ A
↔ x ∈ A
So, A ∩ A ⊂ A
ii) Show that A ⊂ A ∩ A
Take any x ∈ A
Obvious x ∈ A
↔ x ∈ A ∧ x ∈ A
↔ x ∈ A
So, A ⊂ A ∩ A
From (i) and (ii) we conclude that A ∩ A = A

b). Proof :
i). Show that A ∩ B ⊂ B ∩ A
Take any x ∈ A ∩ B ∧ x∈ B∩ A
Obvious x ∈ A ∩ B ∧ x ∈ B ∩ A
↔ x ∈(A ∩ B) ∧ x ∈ (B ∩ A)
↔ x ∈ {(A ∩ B) ∧ (B ∩ A)}
So A ∩ B ⊂ B ∩ A

ii). Show that B ∩A ⊂ A ∩ B
Take any x ∈ B ∩ A ∧ x ∈ A ∩ B
Obvious x ∈ B ∩ A ∧ x ∈ A ∩ B
↔ x ∈ (B ∩ A) ∧ x ∈ (A ∩ B)
↔ x ∈ {(B ∩ A) ∧ (A ∩ B)}
So B ∩ A ⊂ A ∩ B
From (i) and (ii) we conclude that A ∩ B = B ∩ A (H.Komutatif)

c). Proof :
i) Show that (A ∩ B)∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C)
Take any x ∈ (A ∩ B) ∩ C ∧ x ∈ A ∩ (B ∩ C)
Obvious x ∈ (A ∩ B) ∩ C ∧ x ∈ A ∩(B ∩ C)
↔ x ∈ (A ∩ B) ∩ C ∧ x ∈ A ∩ (B ∩ C)
↔ x ∈ {(A ∩ B) ∩ C ∧ A ∩ (B ∩ C)}
So (A ∩ B) ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C)

ii) Show that A ∩(B ∩ C) ⊂ (A ∩ B)∩ C
Take any x ∈ A ∩(B ∩ C) ∧ x ∈ (A ∩ B)∩ C
Obvious x ∈ A ∩(B ∩ C) ∧ x ∈(A ∩ B)∩ C
↔ x ∈ A ∩ (B ∩ C) ∧ x ∈ (A ∩ B) ∩ C
↔ x ∈ {A ∩ (B ∩ C) ∧ (A ∩ B) ∩ C}
So A ∩(B ∩ C) ⊂ (A ∩ B)∩ C
From (i) and (ii) we conclude that A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B)∩ C

TUGAS 3

1.Modus Ponens (MP)
p→q
p /∴ q

[(p→q) ∧ p]→q
≡ [(~p∨ q)∧ p]→q (imp)
≡ [(~p∧ p) ∨ (q ∧p)]→q (dist)
≡ [ F ∨ (q ∧p)]→q (komp)
≡ (q ∧p)→q (id)
≡ (~q ∨~p) ∨ q (imp)
≡ (~q∨ q) ∨ ~p (aso)
≡ T ∨~p (komp)
≡ T (id)


2. Modus Tollens (MT)
p→q
~q / ∴~p

[(p→q) ∧ ~q]→~p
≡ [(~p∨ q) ∧ ~q]→~p (imp)
≡ [(~p∧~q) ∨ (q ∧~q] →~p (dist)
≡ [(~p∧ ~q)∨ F] →~p (komp)
≡ (~p∧ ~q) →~p (id)
≡ (p ∨q) ∨ ~p (imp)
≡ (p ∨~p)∨ q (aso)
≡ T ∨q (komp)
≡ T (id)


3. Silogisme
p→q
q→r / ∴p→r

[(p→q) ∧ (q→r)]→( p→r)
≡ (p→q)→[(q→r)→( p→r)] (eksp)
≡ (p→q)→[(~q∨ r)→(~p∨ r)] (imp)
≡ (p→q)→[(q∧ ~r) ∨ (~p∨ r)] (imp)
≡ (p→q)→[(q ∧~r) ∨ (r∨ ~p)] (komp)
≡ (p→q)→[(q∧ ~r) ∨ r] ∨ ~p (aso)
≡ (p→q)→[(q∨ r)∧ (~r∨ r)] ∨~p (dist)
≡ (p→q)→[(q∨ r) ∧ T] ∨ p (komp)
≡ (p→q)→[(q∨ r) ∨ ~p (id)
≡ (~p∨ q)→q∨ r∨ ~p (imp)
≡ ~(~p∨ q) ∨ (q∨ r∨ ~p) (imp)
≡ ~(~p∨ q) ∨ (~p∧q) ∧ r (aso)
≡ T∨ r (komp)
≡ T (id)


4. Distruktif Silogisme (DS)
(p∨ q)
~p /∴ q

[(p ∨q) ∧ ~p]→q
≡ [(p∧ ~p) ∨ (q∧ ~p)]→q (dist)
≡ [F ∨ (q∧ ~p)]→q (komp)
≡ (q ∧~p) →q (id)
≡ (~q∨ p)∨ q (imp)
≡ (~q ∨q) ∨ p (aso)
≡ T∨ p (komp)
≡ T (id)


5.Konstruktif Dilema (KD)
p→q ∧(r→s)
(p ∨r) /∴ (q ∨s)

{[(p→q) ∧ (r→s)] ∧ (p∨ r)}→q∨ s)
≡ [(~p∨ q) ∧ (~r ∨s) ∧ (p∨ r)]→(q∨ s) (imp)
≡ [(p∧ ~q)∨ (r ∧~s)∨ (~p∧ ~r)]∨ (q)∨s) (imp)
≡ [(p ∧~q)∨ (~p ∧~r)] ∨ [(r ∧~s) ∨ (q ∨s)] (aso)
≡ [(p∧ ~q) ∨ (~p∧ ~r)] ∨ [r∧ ~s) ∨ (q ∨s)] (aso)
≡ [{(p∧ ~q)∨ ~p}∧ {(p ∧~q) ∨ ~r}]∨ [{(r∨ ~s) ∨ (q ∨s)] (dis)
≡ [{(p∧ ~q) ∨ ~p}∧ {(p∧ ~q) ∨ ~r}] ∨ [{(r ∧~s)∨ s} ∨q] (aso)
≡ [{(p ∨~p) ∧ (~q∨ ~p)} ∧ {(p∨ ~r) ∧ (~q∨ ~r)}] ∨ [{(r∨ s) ∧ (~s∨ s)} ∨ q] (dis)
≡ [{T ∧ (~q ∨~p)} ∧ {(p ∨~r) ∧ (~q∨ ~r)}]∨ [{(r ∨s) ∧ T}∨ q] (komp)
≡ [{(~q∨ ~p) ∧ {(p∨ ~r) ∧ (~q∨ ~r)}]∨ [(r ∨s) ∨ q] (id)
≡ [{(~q∨ ~p)∧ {(p∨ ~r) ∧ (~q ∨~r)} ∨ q]∨ [(r ∨s)] (aso)
≡ [{(~q ∨~p) ∨ q}∧ {(p∨ ~r)∨ q}∧ {(~q ∨~r) ∨ q}] ∨ [( s)] (dis)
≡ [{(~q∨ q) ∨ ~p}∧ (p∨ q∨ ~r) ∧ {(~q∨ q) ∨ ~r}]∨ [(r∨ s)] (aso)
≡ [(T∨ ~p)∧ (p∨ q∨ ~r)∧ (T∨ ~r)] ∨ [(r ∨s)] (komp)
≡ [(T ∧ (p∨ q ∨~r∧ T] ∨ [(r ∨s)] (id)
≡ (p∨ q∨ ~r) ∨ (r ∨s) (id)
≡ (r∨ ~r) ∨ (p ∨q ∨s) (aso)
≡ T ∨ (p∨ q ∨s) (komp)
≡ T (id)


6. Destruktif Dilema (DD)
p→q ∧ (r→s)
(~q∨ ~s) /∴ (~p∨ ~r)

{[(p→q) ∧ (r→s)] ∧ (~q ∨~s)}→(~p ∨~r)
≡ [(~p∧ q) ∧ (~r∧ s) ∧ (~q ∧~s)]→(~p ∧~r) (imp)
≡ [(p∧ ~q) ∨ (r∧ ~s) ∨ (q ∧s)] ∨ ~p ∨~r) (imp)
≡ [(p∧ ~q) ∨ (q∧ s)∨ (r ∧~s)∨ (~p ∨~r)] (aso)
≡ [(p∧ ~q) ∨ (q ∧s)] ∨ [(r∧ ~s) ∨ (~p ∧~r)] (aso)
≡ [{(p ∧~q) ∨ q}∧ {(p∨ ~q) ∧s}] ∨ [{(r∧ ~s) ∨ (~p∨ ~r)] (dis)
≡ [{(p∧ ~q) ∨ q}∧ {(p∧ ~q) ∨ s}]∨ [(r∧ ~s) ∨ ~r}∨ ~p] (aso)
≡ [{(p∨ q)∧ (~q ∨q)} ∧ {(p ∨s) ∧ (~q ∨s)}] ∨ [{(r∧ ~r) ∧ (~s∨ ~r)} ∨ ~p] (dis)
≡ [{(p ∨q) ∧ T}∧ {(p∨ s) ∧ (~q ∨s)}] ∨ [{T ∧ (~s∨ ~r)} ∨ ~p] (komp)
≡ [(p∨ q) ∧ (p∨ s)∧ (~q∨ s)]∨[(~s∨ ~r)∨ ~p] (id)
≡ [(p ∨q)∧ (p∨ s) ∧ (~q ∨s) ∨ ~p] ∨ (~s∨ ~r) (aso)
≡ [{(p∨ q) ∨ ~p}∧ {(p∨ s)∨ ~p}∧ {(q∨ s) ∨~p}]∨ (~s ∨~r) (dis)
≡ [{(p ∨~p) ∨ q}∧ {(p∨ ~p) ∨ s}∧ (q∨ s ∨~p)] ∨ (~s ∨~r) (aso)
≡ [(T∨ q)∧ (T∨ s)∧ (q ∨s∨ ~p)] ∨(~s∨ ~r) (komp)
≡ [T ∧T ∧(q∨ s∨ ~p)] ∨ (~s∨ ~r) (id)
≡ (q∨ s∨ ~p) ∨ (~s ∨~r) (id)
≡ (s∨ ~s) ∨ (~p ∨q ∨~r) (aso)
≡ T ∨(~p∨ q ∨~r) (komp)
≡ T (id)

TUGAS 2 PDM

Exercise 1

1.( p Λ q ) → r
Invers : ~( p Λ q )→ ~r
Konvers : r → ( p Λ q )
Kontraposisi : ~r → ( ~p ∨ ~q )

2. p → ( q Λ r )
Invers : ~p → ~( q Λ p )
Konvers : ( q Λ r ) → p
Kontraposisi : ( ~q ∨ ~r )→ ~p

3. ~p → ( q Λ ~r)
Invers : p →( ~q ∨ r )
Konvers : ( q Λ ~r)→ ~p
Kontraposisi : ( ~q ∨ r )→ p

4. ( p ∨ ~q ) → ( q Λ r )
Invers : ( ~p Λ q ) → ( ~q ∨ ~r )
Konvers : ( q Λ r ) → ( p ∨ ~q)
Kontraposisi : ( ~q ∨ ~r ) → ( ~p Λ q )

5. ( ~q Λ ~r ) → ( ~p ∨ q )
Invers : ( q ∨ r ) → ( p Λ ~q)
Konvers : ( ~p ∨ q ) → ( ~q Λ ~r)
Kontraposisi : ( p Λ ~q ) → ( q ∨ r )

6. ( q ∨ ~r ) → ( p Λ r )
Invers : ( ~q Λ r ) → ( ~p ∨ ~r)
Konvers : ( p Λ r ) → ( q ∨ ~r)
Kontraposisi : ( ~p ∨ ~r )→ ( ~q Λ r )


Exercise 2 ( Menentukan invers,konvers, dan kontraposisi pernyataan berikut : )
1. Jika hasil produksi melimpah maka harga turun.
Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah maka harganya naik.
Konvers : Jika harganya turun maka hasil produksinya melimpah
Kontraposisi : Jika harganya naik maka hasilnya tidak melimpah.

2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
Invers : Jika lapangan pekerjaan banyak maka pengangguran menurun.
Konvers : Jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
Kontraposisi : Jika pengangguran menurun maka lapangan pekerjaan banyak.

3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
Invers : Jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat.
Konvers : Jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar.
Kontraposisi : Jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar.

4. Jika x %3E 10 maka x² %3E 100.
Invers : Jika x ≤ 10 maka x² ≤ 100
Konvers : Jika x² %3E 100 maka x %3E 10
Kontraposisi : Jika x² ≤ 100 maka x ≤ 10

5. Jika x² – 16 = 0 maka x = 4 atau x = -4
Invers : Jika x² - 16 ≠0 maka x ≠ 4 dan x ≠ -4
Konvers : Jika x = 4 atau x = -4 maka x² - 16 = 0
Kontraposisi : Jika x ≠ 4 dan x ≠ -4 maka x² - 16 ≠ 0

6. Jika sin x = 90° – cos x maka x merupakan sudut lancip.
Invers : Jika sin x ≠ 90° - cos x maka x bukan merupakan sudut lancip.
Konvers : Jika x merupakan sudut lancip maka sin x = 90° - cos x.
Kontraposisi : Jika x bukan merupakan sudut lancip maka sin x ≠ 90° - cos x.

7. Jika tan x = -1 maka x = 135° dan x = 315°.
Invers : Jika tan x ≠ 1 maka x ≠ 135° atau x ≠ 315°.
Konvers : Jika x = 135° dan x = 315° maka tan x = 1.
Kontraposisi : Jika x ≠ 135° atau x ≠ 315° maka tan x ≠ 1.

RESUME PDM 1

PENGERTIAN LOGIKA DAN KALIMAT BERMAKNA

Logika matematika merupakan cabang penting dari matematika sehingga perlu diajarkan pada semua jenis sekolah lanjutan untuk memberikan dasar cara berfikir yang logis dan sistematis. Oleh karena itu obyek-obyek diluar semesta pem-bicaraan tidak perlu diperhatikan agar pembahasan masa-lah dapat terarah dan bisa menghindari kesalahpahaman dalam peninjauannya.
Dalam kehidupan sehari-hari dilakukan komunikasi menggunakan bahasa. Agar komunikasi dapat dimengerti digunakan logika sebagai kontrol. Dalam matematika, bahasa komunikasinya disebut kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambang-lambang matematika. Kalimat dibedakan menjadi 2 yaitu:
1. Kalimat Berarti
Yaitu kalimat yang pengertiannya masuk akal dan berarti dalam pikiran.
Contoh:
1.Matahari terbit dari arah timur.
2.Harimau binatang buas.
Kalimat yang mempunyai arti dibedakan menjadi 2 yaitu: yaitu kalimat pernyataan dan kalimat bukan pernyataan
a.Kalimat Pernyataan
Adalah suatu kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak dapat benar dan sekaligus salah. Kalimat pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen, atau proposisi dan dilambangkan dengan satu huruf kecil.
Perhatikan kalimat kalimat-kalimat berikut ini:
1.p: Semarang Ibukota Jawa Tengah. (benar)
2.q: 4x + 6x = 12x. (Salah)
3.r: Semua siswa SMK harus melaksanakan Praktek Kerja Industri (Prakerin).(Benar)
4.s: Nilai dari 42 x 2-3 = 3. (Salah)
5.t: 7 + 3 £ 10. (Benar)
•Selain kalimat pernyataan di atas ada pula kalimat faktual yaitu kalimat yang nilai kebenarannya baru diketahui sesuai dengan keadaan saat itu.
Contoh:
1.Hari ini matahari bersinar terang.
2.Besok ada orang yang mendapat hadiah dari Bank.

b.Kalimat Bukan Pernyataan
adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat pertanyaan dan kalimat harapan.
Contoh:
1.Semoga hari ini bias mengerjakan ujian.
2.Semua siswa dapat mengerjakan soal-soal latihan 1.
•Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel) merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang konstanta adalah suatu bilangan tertentu atau suku yang tidak mengandung variabel.
Contoh:
1.6x – 4 = 14 (Kalimat terbuka)
2.3x + 4 < 6 + 2x (Kalimat terbuka)
3.Hapuslah papan tulis itu! (Kalimat perintah)
4.Mengapa kamu tidak mengerjakan pekerjaan rumah? (Kalimat tanya)
5.Mudah-mudahan semua siswa mendapat beasiswa dari Pemkot. (Kalimat harapan)

2.Kalimat Tidak Berarti
Yaitu kalimat yang tidak bisa diterima akal.
Contoh:
1. Nasi menyanyi tidur makan.
2. 2 + 5 menyanyi tidak pergi akan lagi.

INGKARAN,KONJUNGSI DAN DISJUNGSI
Pada pernyataan dapat dilakukan operasi. Jika operasi itu dikenakan pada satu pernyataan, maka operasinya disebut operasi uner, sedangkan bila dikenakan pada beberapa pernyataan disebut operasi biner.
Bentuk dari operasi logika matematika sebagai berikut :

A. Ingkaran/Negasi
Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~" .atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".
Contoh:
(1) p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

(2) q: 2 + 5 = 10.
~q: Tidak benar bahwa 2 + 5 = 10.
~q: 2 + 5 tidak sama dengan 10.

(3) r: 2 > 5
~r: Tidak benar bahwa 2 > 5 .
~r: 2 < 5.

Catatan:
Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya.

B. Konjungsi:
Operasi konjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan "∧" dan dibaca "dan". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan "p ∧ q" dibaca "p dan q".
Catatan:
dapat dikatakan bahwa konjungsi bernilai benar (B) jika kedua komponen penyusunnya bernilai benar(B), jika tidak demikian maka konjungsi bernilai salah (S).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listriK.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
1. Jakarta ibu kota RI dan Tugu Muda terletak di kota Semarang.
2. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan 6 + 4 = 11
3. (sin x = 1+ cos2x) dan jumlah sudut dalam segitiga 360.
Penyelesaian:

(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
(3) Kalimat bernilai salah karena salah kedua pernyataan penyusunnya bernilai salah.

C. Disjungsi
Operasi konjungsi merupakan operasi binar yang dilambangkan "V" dan dibaca "atau". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan" p V q" dibaca "p atau q".
Catatan:
Dapat dikatakan bahwa disjungsi bernilai salah (S) jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah (S), jika tidak demikian maka disjungsi bernilai benar (B).

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan yang berikut:
1. Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 atau Megawati Wakil presiden RI yang ke4
2. 3 + 4 = 5 atau 5 bukan bilangan prima.

Penyelesaian:
1. Benar karena Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 bernilai benar.
2. Salah karena kedua komponennya bernilai salah.

Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

a. Disjungsi Inklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.
Contoh:
p: Pak Budi orang kaya.
q: Pak Budi rajin bekerja.
p∨q: Pak Budi orang kaya atau rajin bekerja.
Di sini mempunyai dua pengertian:
(1) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi tidak keduanya.
(2) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi mungkin juga keduanya.

b. Disjungsi Eksklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salah satu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).

Contoh :
p : Joni naik pesawat terbang.
q : Joni naik kapal laut.
p∨q : Joni naik pesawat terbang atau kapal laut.

Dalam contoh tersebut, Joni hanya naik pesawat terbang saja atau kapal laut saja, dan tidak mungkin naik pesawat terbang dan sekaligus naik kapal laut.

TUGAS PDM

Tugas 1.

A. Membuat 5 Contoh masing-masing kalimat dibawah ini:

1. Kalimat Pernyataan
a. Bilangan genap dapat dibagi dua.
b. Indonesia termasuk dalam Asia Tenggara.
c. Semarang adalah ibukota Jawa Tengah.
d. Tumbuhan adalah sumber daya alam yang dapat diperbaharui.
e. Bulan berevolusi terhadap bumi.

2. Kalimat Terbuka
a. 7x – 5x < 10
b. 8x – 11 > 3 – 6x
c. 30 + 6x < 4x – 6
d. x + 5 < y – 3
e. 10 + a > 3 -b

3. Kalimat Perintah
a. Kerjakan tugas 1 di buku tugas !
b. Masing-masing kelompok buatlah blog !
c. Tutup pintu depan rumah !
d. Matikan televisinya !
e. Jangan ribut !

4. Kalimat Tanya
a. Bagaimana cara menyelesaikan soal nomor 1 ?
b. Siapakah nama presiden Amerika saat ini ?
c. Berapa jumlah provinsi di Indonesia?
d. Dimanakah letak pulau Samosir ?
e. Apa nama ibukota Negara Indonesia ?

5. Kalimat Harapan
a. Semoga saya bisa lulus tepat waktu.
b. Mudah-mudahan kami menjadi juaranya.
c. Semoga hari ini tidak hujan.
d. Saya berharap ibu pulang membawa hadiah untuk saya.
e. Semoga Indonesia dapat berlaga di Piala Dunia.

6. Kalimat Factual
a. Hari ini hujan deras sekali.
b. Langit tampak cerah hari ini.
c. Cuaca di Semarang sedang mendung.
d. Besok akan ada penyelidikan dari KPK kepada anggota DPR di Jakarta.
e. Ruang seminar di D10 dipenuhi mahasiswa baru.


B. Membuat contoh Disjungsi Eksklusif dan Inklusif !

*Disjungsi Ekslusif :
1. p : Ibukota Indonesia adalah Jakarta.
q : Ibukota Indonesia adalah Yogyakarta.
pvq : Ibukota Indonesia adalah Jakarta atau Yogyakarta.

2. p : Andi lahir di Bandung.
q : Andi lahir di Semarang.
pvq : Andi lahir di Bandung atau di Semarang.

3. p : Bapak dosen sedang rapat.
q : Bapak dosen sedang mengajar.
pvq : Bapak dosen sedang rapat atau mengajar.

4. p : Adik sedang makan.
q : Adik sedang berenang.
pvq : Adik sedang makan atau berenang.

5. p : Joni pergi naik bus.
q : Joni pergi naik kapal.
pvq : Joni pergi naik bus atau kapal.

* Disjungsi Inklusif :
1. p : Pak ardhi seorang dosen.
q : Pak ardhi seorang pengusaha.
pvq : Pak ardhi seorang dosen atau pengusaha.

2. p : Ani pandai mengaji.
q : Ani pandai menyanyi.
pvq : Ani pandai mengaji atau menyanyi.

3. p : Budi suka bermain bola.
q : Budi suka bermain tenis.
pvq : Budi suka bermain bola atau tenis.

4. p : Sinta suka makan mie ayam.
q : Sinta suka makan bakso.
pvq : Sinta suka makan mie ayam atau bakso.

5. p : Aminah anak yang pintar.
q : Aminah anak yang sholehah.
pvq : Aminah anak yang pintar atau sholehah.


C. Membuat contoh Ingkaran :

1. p : Nol merupakan bilangan real.
~p : Tidak benar bahwa nol merupakan bilangan real.
~p : Nol bukan bilangan real.

2. q : -2 + 3 > 0
~q : Tidak benar bahwa -2 + 3 > 0
~q : -2 + 3 < 0

3. r : Setiap bilangan real negative terletak di sebelah kiri 0 dalam garis bilangan.
~r : Tidak benar bahwa setiap bilangan real negative terletak di sebelah kiri 0 dalam garis bilangan.
~r : setiap bilangan real negative tidak terletak di sebelah kiri 0 dalam garis bilangan.

4. s : Ibu pergi berbelanja.
~s : Tidak benar bahwa ibu pergi berbelanja.
~s : ibu tidak pergi berbelanja.

5. z : jalan di kawasan Terboyo macet setiap hari.
~z : Tidak benar bahwa jalan di kawasan Terboyo macet setiap hari.
~z : Jalan di kawasan Terboyo tidak macet setiap hari.